不存在的无,通常用零来表示。
但是,无,或者说零,通常有存在或不存在两种状态。
比如,一个班的成绩统计,有个人考个零分,他的成绩统计的数值当然为零。另外有个人根本不在这个班上,但班级名单上误加了他,自然要有成绩统计。但他相对这班级来说是不存在的人,成绩当然也不存在,统计的数值只好是零。这样,成绩表上尽管两个人都为零,但这零却分属两种情况:成绩存在的零和成绩不存在的零。
相应地,零域中的零,也分为存在和不存在两种状态。我们常把不存在的东西称为无意义的。所以,零域中的零可分为有意义的和无意义的。
存在的零可分几类,不存在的零也可以分几类。比如成绩统计表上的零,既可以是不存在的人没有成绩被计零,也可以是班上的人没参加考试无成绩被计零。甚至代人替考被查出算舞弊成绩被清零也可算在内。特殊情况总会存在。
零域中对不存在的零,即无意义的零进行区分,是为了特殊的计算。一般地,在低级时的无意义,在升级后就变得有意义。比如,对负数开平方,在实数范围内无解,就无意义。但将实数扩充为复数后,负数开平方后是虚数,就有解,有意义了。而虚数相乘变为实数,对实数来说相当于从无意义变为有意义。所以,零域中的零元中,无意义的零和有意义的零之间的关系与此类似。简化起见,我们可以把无意义的零定义为负零,而有意义的零为正零,负负得正,负零相乘得正零,而零的乘法意味着零的维数变化,即负零变正零是从低维迈向高维。
不存在的无解,对应的就是无意义的零。比如导数,如果不可导,一般来说不可导又分为4种情况,1.角点(corner)左右导数都存在但是不相等,2.尖点(cusp)左右导数不相等且分别为正负无穷,3.垂直切线点(vertical tangent)极限不存在,但是左右导数相等为正无穷或负无穷,4.不连续点(discontinuity)必不可导。这几种情况,可对应于无解的零的另一种分类:与有限相关的零或与无限相关的零。即左右导数为有限值存在而不相等时的不可导,就是与有限相关的零,左右导数为无穷时的不可导就是与无限相关的零。
有限的零,可将有限值赋予零,将零的运算转化为有限值之间的运算。比如左右导数的有限值赋予零,零就有两个有限值,这两个值可以用上下标表示,也可以用二元数组表示,但最好是用矩阵表示,方便计算。
无限的零。则根据1/0=∞,可认为∞=1/0,即∞是0的负一次方。则取对数㏒∞=﹣1·㏒0.因为㏒∞=∞,所以∞=﹣1·㏒0,即-1·∞=㏒0=0,∞·㏒(-1)=0,因此,对无限的零来说,将无限赋值为㏒(-1),﹢∞赋值﹢㏒(-1),﹣∞赋值﹣㏒(-1),以此进行计算。
这里,一般对数函数的真数不能为负,而这里却取了负数-1.因为这是零域的运算,允许取值为负。可以把
㏒(-1)看成是一个数,就像将负数开平方将它看成一个数一样。
类似㏒(-1)这样的数,正好对应于不存在的无,似乎是个巧合。